bitte um tipps usw
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LÖSUNGSVERSUCH Klausur Juli 2009
jo hier mal unser loesungsversuch zu der klausur von juli 2009 !
Wenn ihr anregungen usw habt, sachen die ihr falsch findet, einfach hier posten !
hf!
Zum Thema SVD - Frobeniusnorm:
http://de.wikipedia.org/wiki/Matrixnorm#Frobeniusnorm_oder_Schurnorm
Mit Hilfe der SVD kann man das (soweit ich mich noch richtig erinnern kann), einfach so lösen, dass man für den Rang k die ersten k Singularwärte belässt und die übrigen durch 0 ersetzt.
Für k = 1 heißt das also, dass du nur den ersten Singulärwert betrachtest:
[m][color=black]
[ 3 0 0 ]
S’ = [ 0 0 0 ]
[ 0 0 0 ]
[/color][/m]
Danach multiplizierst du die Matrizen einfach aus:
[m]A’ = U S’ V^T[/m]
Das Ergebnis A’ ist die gesuchte Approximations-Matrix.
Falls das nicht richtig ist, korrigiert mich bitte 
Edit: Meines Wissens kann man das CG-Verfahren zum lösen linearer Gleichungssysteme nutzen. Du hast ja dann sowas der Form: Ax - b = 0, bzw. Ax = b.
Es kann da natürlich Einschränkungen geben bzgl. der Matrix, aber grundsätzlich würde ich sagen, dass man es verwenden kann.
jepp true, bestaetige ich, aber ich hab den multiplechoice teil gemacht, bevor ich CG konnt :-D…
Die Simpson Regel interpoliert Polynome von Grad 3 exakt.
Eine Frage zur Aufgabe 4a) QR - Zerlegung, warum rechnet man dort mit dem zweiten Einheitsvektor (heißt für mich zweite Householder-Spiegelung als H_2) aber nullt nicht den Vektor a oberhalb des zweiten Eintrags?
so macht die Fragestellung irgendwie nicht wirklich Sinn.
Irgendwie versteh ich die 7d noch nicht ganz. Meines Erachtens werden doch die Bernsteinpolynome bei x=1 immer 0, außer bei i=n, wo kommen denn da dann die anderen Faktoren her?
Bezueglich Housholder
Mein Loesungsansatz waere gewesen (gibt zwar ne haessliche Matrix aber maxima bestaetigt dass es richtig wird):
Wir wollen ja ein Vielfaches des Einheitsvektors, also 3 Eintraege gleich Null: Normale Housholder Transformation macht alles gleich 0 unter einem bestimmten Eintrag, also koennen wir Eintrag 0 nicht als Basiseintrag nehmen sondern muessen von Eintrag 1 ausgehen, also:
a = [4, 2, 5, 2]^T
v = [4, 2, 5, 2]^T - ||a||_2 * e1 = [-3, 2, 5, 2]^T
H wird ein bisschen schwierig jetzt hinzuschreiben, aber sollte nach Formel einfach auszurechnen sein. Auf jedenfall ergibt dann:
H * a = [7, 0, 0, 0]^T
Jetzt wollen wir allerdings als Ergebnis ein vielfaches von e2, also setzen wir an:
X * H * a = X * [7, 0, 0, 0]^T = [0, 7, 0, 0]
was fuer eine Einheitsmatrix mit Lange / Breite = 4 ertgibt bei der 1. & 2. Zeile vertauscht sind zutrifft.
Also ist H_ergebnis = X * H. H_ergebnis * a = [0, 7, 0, 0]^T und bestaetigt das Ergebnis.
Vielleicht ist noch jemand hier, der mir bei 2 Fragen helfen kann?
In der Zusammenfassung steht, dass Simpsonregel Rechtecke mit aufgesetzten Parabeln verwendet. Sollten dann nicht Funktionen 2. Grades exakt integriert werden?
(oder ist damit das Integralpolynom gemeint, das bei einer Parabel Grad 3 hat?)
Und überall steht bei der iterierten Simpsonregel die Gewichte: 1 4 2 4 … 2 1
Einfaches Simpson ist doch: 1 4 1
Also ergäbe sich:
1 4 1
-
1 4 1
+ 1 4 1
1 4 2 4 2 4 1
Als letztes vor der letzten 1 eine 4 und keine 2? (Wenn ich mit 4 Rechne komme ich auch auf das richtige Ergebnis(vllt aber noch weitere Fehler, die sich dann aufheben))
Für 2) Multiple Choice (S. 4) habe ich:
a) 001001
b) 00110
c) 10110
d) 01111
(1 = ja, 0 = nein, Hervorhebung = anders als im Link / bzw. Ergänzung)
4) QR-Zerlegung a) (S. 6):
v = a ± ||a|| e[sub]2[/sub]
wähle +:
v = (4 2 5 2)[sup]T[/sup] + (0 7 0 0)[sup]T[/sup] = (4 9 5 2)[sup]T[/sup]
S = E - 2 (vv[sup]T[/sup]) / (v[sup]T[/sup]v)
S = [m][color=black]
/ 94 -72 -40 -16
1 | -72 -36 -90 -36 |
— * | -40 -90 76 -20 |
126 \ -16 -36 -20 118 /[/color][/m]
(bildet [m]a[/m] auf (0 -7 0 0)[sup]T[/sup] ab)
alternativ -:
v = (4 2 5 2)[sup]T[/sup] - (0 7 0 0)[sup]T[/sup] = (4 -5 5 2)[sup]T[/sup]
S = E - 2 (vv[sup]T[/sup]) / (v[sup]T[/sup]v)
S = [m][color=black]
/ 38 40 -40 -16
1 | 40 20 50 20 |
– * | -40 50 20 -20 |
70 \ -16 20 -20 62 /[/color][/m]
(bildet [m]a[/m] auf (0 7 0 0)[sup]T[/sup] ab)
5) SVD a) Kondition (S. 8):
Die Konditionszahl bzgl. der euklidischen Norm ||⋅ ||[sub]2[/sub]:
K[sub]2[/sub] = max[sub]||x||[sub]2[/sub]=1[/sub] ||Ax||[sub]2[/sub] / min[sub]||x||[sub]2[/sub]=1[/sub] ||Ax||[sub]2[/sub]
= (oberster Eintrag der Diagonale von S) / (unterster Eintrag der Diagonale von S)
= 3 / 1 = 3 (nix mit Quadraten…)
(Anmerkung falls der unterste Eintrag der Diagonale von S gleich 0 wäre: K[sub]2[/sub] = ∞)
5) SVD c) (S. 10):
Wie von decyfeR bereits erklärt: A’ = U S’ V[sup]T[/sup]
Ergebnis: [m][color=black]
1 / 36 27 0
– * | 0 0 0 |
25 \ -48 -36 0 /[/color][/m]
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Kann mir einer erklären, wie man bei der Aufgabe 10 auf die Matrix und auf den Vektor b kommt?
Der Vektor x ist ja x = (x, y)T, damit repräsentiert der Ausdruck xT A x im allgemeinen ein quadratisches Funktional, also alle Terme x², y² und xy. Die Koeffizienten sind dann die Einträge in der Matrix. (Das gilt übrigens für beliebige Dimensionen.)
Wenn man ne allgemeine 2x2 Matrix [a_11, a_12; a_21, a_22] hat, dann ist xT A x = a_11 x² + (a_12 + a_21) xy + a_22 y².
Dementsprechend musst du dann die Matrixeinträge wählen, damit das gleich der Funktion ist.
Mit dem Vektor b geht es relativ analog, das ist halt einfach ein Skalarprodukt 2 * <b, x>, d.h. da kommen nur lineare Terme x und y vor.
Ich hoffe, das hilft dir weiter, die Lösung wollt ich dir jetzt nicht gleich präsentieren 
Ok, super danke.
Jetzt kann ichs nachvollziehen.
könnte evtl jemand noch mal die ganze lösung posten bzw das pdf file hochladen, bei mir kommt da nämlich bei dem link ein fehler.
wäre super!
Danke schon mal!
10a)
Q(x,y) = 4x² + 2xy + y² -2y +10
Meine Lösung wäre:
4 1 0
A= 1 1 b= -2 gamma = 10
=> s0 = grad(F(x0)) = (0 -2)^T
tau = 1
x1 = x-tau*s0 = (0 2)
s1 = grad(F(x1)) = (4 2) ^T
tau = 4/21
x2 = (-16/21 34/21)^T
a)
Tiefpass: (…0, 0, 0, 0, 0, 0, 0…)
Sobel: (…,-2, 1, 2,-2,1,2…)
b)
Sobel: Kantendetektion
Tiefpass: Glättung
c)
F1 : 1/3(1, 1, 1)^T und 1/3 (1, 1 ,1)
F2 : nicht separierbar
F3 : 1/3 (1, 2, 1)^T und 1/2(1 2 2 1)
Kann das jemand bestätigen? :S
Ich hab noch eine weitere Lösung zur 4a)
/ -47 36 20 8 \
1 | 36 18 45 18 |
S = - — * | 20 45 -38 10 |
63 \ 8 18 10 -59 /
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Der Link zu pdf datei auf der 1. Seite funktioniert nicht?
5a)
S:3 2 1
Rang = 3
bild = u1 u2 u3
Kern = leere menge
k = 3
b)
x= (4 3 0)T
c)
1/25* (36 27 0; 0 0 0; 0 0 0)
6)a)
n(x) =
-3 für -0,5 <= x < 0,5
0 für 0,5 <= x < 1,5
5 für 1,5 <= x < 2,5
0 für 2,5 <= x < 3,5
b)
l(x)=
3x für 0 <= x < 1
5x-5 für 1 <= x < 2
-5x+10 für 2 <= x < 3
c)
c0 = -3
c1 = 3
c2 = 1
c3 = -2
a(x) = -3 + 3x + 1x*(x-1) -2*x(x-1)(x-2)
7c)
c0 = 0 0
c1 = 1 4
c2 = 2 7
c3 = 3 9
Verbessert???:
Wie is denn das mit dem Verfahren… wenns minimum in x-tau*s erreicht wird, muss ich dann den positiven oder den negativen gradienten nehmen?oder muss ich generell IMMER den negativen gradienten nehmen weil ich ja absteigen will?
10a)
Q(x,y) = 4x² + 2xy + y² -2y +10
Meine Lösung wäre:
4 2 0
A= 0 1 b= -2 gamma = 10
=> s0 = -grad(F(x0)) = (0 2)^T
tau0 = 1
x1 = x-tau*s0 = (0 2)
s1 = -grad(F(x1)) = (-4 -4) ^T
tau1 = 1/7
x2 =(0 2)T -1/7*(-4 -4)T = 1/7 * (4 10)T
10b)
1.Schritt
g0 = ( 0 -2)
s0 = ( 0 2)
t0 = 1
x1 = ( 0 2)
- Schritt
g1 = (4 0)
beta0 = 4
s1 = (-4 8)
t1 =1/4
x2 = (-1 4)