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Lösungsversuch 15.Februar 2011
hi, ich hab mich mal an der letzten klausur versucht… wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir sagen könntet, ob das alles soweit in ordnung ist!
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a) l(x) = {x für x aus [0,1[
{12x-12 für x aus [1,2[
{60x-108 für x aus [2,3]
b) Koeffizienten aus Aitken-Neville: c0 = 0; c1 = 0; c2 = 6; c3 = 6
a(x) = 6x^3 - 12x^2 + 6x
c) |1 0 0 0 |
|1 1 0 0 |
|1 2 2 0 |
|1 3 6 6 |
d) Die Systemmatrix ist eine untere Dreiecksmatrix, und man kann die Werte rekursiv ausrechnen, also mit weniger Aufwand. -
a) |1 0 0 0| |2 1 4 1|
|2 1 0 0| x |0 1 1 1|
|0 3 1 0| |0 0 2 1|
|0 0 2 1| |0 0 0 3|
b) x = (-3 1 4) transponiert -
siehe Hausaufgabe
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a) Fläche im spitzen Winkel bei S
b) Halbgerade [T;R[
c) T
d) P0 auf 2/3 der Strecke von R nach S
P1 auf der Winkelhalbierenden von S, eher bei S
P2 vervollständigt ein Parallelogramm RSP2S, allerdings sind die Koordinaten falsch (ergeben nicht 1), ich bin jetzt von (-1, 1, 1) ausgegangen
e) (-2, 1, 2) -
a)Singulärwerte: 3/2, 3/4, 1/2
r = 3
span{ (-1 -2 -2), (-2 2 -1), (-2 -1 2)}
span{(1 -1 -1 1)
Bei der Konditionszahl bin ich mir sehr unsicher, bin einen Weg über die Pseudoinverse gegangen und habe 3 als Ergebnis, bitte um Rückmeldung!
b) 4(-7 -1 1 7)
c) 0,25 x |1 1 1|
|-2 -2 -2|
|-2 -2 -2| -
siehe Hausaufgabe
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a)20 b)17 c)16 d)16 e)16 f)O(h^2) g)O(h^4)
-
a) g ist besser konditioniert, weil es die geringere Steigung an der Stelle 1 hat.
b) 7, 5, 19, 24, 6, 6
c) 49/25
d) Steigungen “gleicher” bei Problem 2, deshalb schlechter konditioniert. -
a) x2 = 0, x3 = -1,5
b) x2 = 0,5, x3 = 8
c) keine Ahnung. Bitte um HIIIIIIIILFE!
Für die 1) hab ich O(n), O(n^2), O(n), O(n), O(n^2), O(n^2), O(n^3), O(n^2).
Bei der 2a) hab ich für den Bereich [0,1[ 0, nicht x. Bei der 2d) ist die Technik Vorwärtseinsetzen, nicht Rekursion.
Bei der 5b) hab ich die (Halb)Gerade RS links von R (R exklusive).
Die Konditionszahl hab ich auch so, aber das geht einfacher: größter Singulärwert geteilt durch kleinsten Singulärwert.
Bei 6b) komme ich auf (-14,-2,2,14)^T (mit GNU Octave nachgerechnet). Bei 6c) muss eine Matrix mit gleichem Format rauskommen, ich hab da: 1/2 * [1/2 1/2 1/2 1/2; 1 1 1 1; 1 1 1 1].
Bei der 9a) hab ich keine Ahnung, wie kommt man da drauf? Welche Norm hast du bei 9c) verwendet, mit der 2-Norm kommm ich auf 1 und 24.
Bei der 10b) komme ich auf x2 = 1/2 und x3 = -7.
Die c) kam in der letzten Tafelübung dran. Wie das Newton-Verfahren funktioniert steht auch im Skript. Da kommt (-4, 3)^T raus.
Den Rest hab ich genauso.
Edit: Aufgabe 1 hinzugefügt.
Edit: 8c) passt.
17 + (17-20)/3 = 16
κ_f = |x * f’(x)/f(x)| = π
κ_g = |x * g’(x)/g(x)| = 1/π
kleinere Konditionszahl bei g.
Spalten oder Zeilensummennorm bei A_1 führt auf 49/24.
Rest passt mit rudis Verbesserungen 
Hi!
Das meiste stimmt mit meinem überein, bis auf:
5.b) Halbgerade von R aus nach links
6.a) Ich hab die Vektoren noch mit den Faktoren vor den jeweiligen Matrizen multipliziert. Aebr stimmt, an sich müsste man das vermutlich nicht machen, oder?
Die Singulärwerte sind ja die Wurzeln der Eigenwerte der Matrix. Darum hab ich da einfach den größten und kleinsten quadriert und Bruch gebildet (gab da doch diese Formel) und komm auf 9.
10.b) krieg x3 = -7 raus O_o
c) auch keine Ahnung 
Ah, klar. Danke. Habs oben ausgebessert.
Danke, damit ist es klar.
Richtig, muss man nicht da es ja der Span ist. Somit fallen Faktoren weg.
Siehe oben.
Strengenommen müssten da Faktoren ∈ R davor, oder? Sollten ja ne Basis aufspannen.
dankeschön für alle hinweise! hat mir sehr geholfen!
könnte mir noch jemand die lösungen zur präsenzaufgabe des letzten blatts geben… ich verstehe newtonverfahren und abstiegsverfahren irgendiwe überhaupt nicht:(
danke für die hilfe, derjenige weiß schon, dass er gemeint ist. eine klitzekleine frage hätte ich noch, und zwar zur präsenzaufgabe 7. ist es da richtig, dass als geschätzte ableitungen folgendes herauskommt:
f’(t0) = 1,25
f’(t1) = 0.75
f’(t2) = -0.5
f’(t3) = -2,5
bei aufgabe d) müsste man ja dann die formel auf seite 69 ganz unten anwenden, und das dreimal für alle drei intervalle, oder?
Wie kommt man denn auf die 5d???
Ich versteh nicht ganz was mit dem lösen eines LGS mit einer „k-diagonalen Matrix“ gemeint ist - eine Bandmatrix mit Bandbreite k?
Dann ist das nicht O(n) sondern O(nk^2).
Allgemein für Breite = q+p (-> breite nach „unten“ + breite nach „oben“): O(nq*p)
Quelle:
Wenn s1 >= s2 >= … >= sn die Singulärwärte von A sind, ist die Kondition der Matrix k(A) = s1/sn.
Passt: 6/4*4/2=3
Erklärung:Singulärwertzerlegung – Wikipedia
So, nu, also erstmal ohne Newton:
Die Gleichungen nach z auflösen:
z = -y-1
z=y^2-4
=> y^2+y-3 = 0
Nach y auflösen: y1,2 = -+ Sqrt(13/4)-1/2
y1 ~= 1,3028
y2 ~= -2,3028
Einsetzen für z:
z1 = -y1 -1 = -2,3028
(!)= y1^2-3 = -2,3027 √
z2 = -y2-1 = 1,3028
(!) = y2^2-3 = 1,3029 √
Es gibt also die zwei Lsgn x1 = [ 1,3028; -2,3028] und x2 = [-2,3028, 1,3028]
So, jetzt mit Newton fasse man die beiden Gleichungen als g(x) = b auf. Man will also f(x) = g(x) - b = 0 lösen. Steht im Skript unter 8.2.6 Habs mal aufgeschrieben und mit Mathematica noch weiter iteriert. Müsste passen. → Anhang.
Attachment:
10c-Newton.pdf: https://fsi.cs.fau.de/unb-attachments/post_92335/10c-Newton.pdf
Mir ist gerade aufgefallen, dass die 10c ja auch viel einfacher geht… 
z=-y-1 => in zweite Gl.
y²+y=3
Löse f(y) = y²+y-3=0 mit eindim. Newton
y1 = -4
z1 = 4 -1 = 3
Ich hab die Hausaufgaben nicht, deshalb nochmal die 4c angehängt. Kann mal jemand verifizieren ob das so stimmt? Thx!
Attachment:
xscan0012.pdf: https://fsi.cs.fau.de/unb-attachments/post_103828/xscan0012.pdf
fast -1/2 * …
siehe anhang für detaillierte lsg.
Attachment:
kls-2011-02-15-6c.pdf: https://fsi.cs.fau.de/unb-attachments/post_103831/kls-2011-02-15-6c.pdf
Wie funktioniert denn das Romberg-Verfahren bei Aufgabe 8 c)? Ich werde aus dem Skript und den Folien nicht so ganz schlau.
Aus Teilaufgabe a: 20
Aus Teilaufgabe b: 17
Weil es mir gerade aufgefallen ist: 4d) P_2 ist kaputt, da die Summe der Gewichte 0 ergibt. (Nicht dass sich noch jemand über unmögliche Konstruktion wundert :P)
Kann mir vll jemand erklaeren wie man bei der 2c) auf die Matrix kommt?:
|1 0 0 0 |
|1 1 0 0 |
|1 2 2 0 |
|1 3 6 6 |
Ich versteh das einfach irgendwie nicht…
Ich habe ja das Gleichungssystem
Ac=y; Also:
| 0 | | 0 |
A | 0 | = | 0 |
| 6 | | 12 |
| 6 | | 72 |
Und von da aus soll ich jetzt auf A kommen?! Oder was muss ich da machen? Oo