LÖSUNGSVERSUCH Klausur 5. August 2011

[system]

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[Tuchkata]

LÖSUNGSVERSUCH Klausur 5. August 2011
Hallo zusammen.
Hat jemand die Klausur gerechnet? Ich hab noch Probleme mit Aufgaben 4, 5 b und c, und bei Aufgaben 8, 9 und 10 bin ich mir nicht sicher. Danke im Voraus

Edit: Lösungsversuch :

1. O(n²) ; O(n) ; O(n³) ; O(n) ; O(n²) ; O(n² ??) ; O(h²) ; O(h⁴)

2. a) val = 2, 3, -4, 7, 3, 2, 8, 1, -3
   row_idx = 2, 3, 4, 1, 2, 3, 1, 3, 4
   col_ptr = 0, 0, 3, 6, 9, 9

b) CCS nach CRS

c)
|0 4 0 0 0|
|0 0 0 0 0|
|0 0 3 2 0|
|0 2 1 4 0|
|0 0 0 0 0|

3. a)
   L U
   | 1 0 0| |2 1 4|
   | 2 1 0| |0 1 1|
   |-2 3 1| |0 0 2|

b) x = (-10 6 -3/2 -1)^T

4. a) u = (0 2 -2)^T
   A = |18 10 6|
   |10 6 4|
   | 6 4 4|
   b = (8 4 0)^T

b)
|14 5 -2| |c| |7|
|5 5 0| x |b| = |7|
|-2 0 5| |a| |3|

c) QR-Zerlegung

5. a)
   C = |5.6 3.6|
   |3.6 3.2|

b) v₁ = (-1 1)^T 1. Hauptachse
v₂ = (1 1)^T 2. Hauptachse

B = |-1 1| |7 0| |-1 1|
| 1 1| |0 1| | 1 1|

c) Hilfe bitte.

8. a) Hilfe bitte.
   b) x₁ = (-2/3 2/3)^T (bin ich mir überhaupt nicht sicher)
   c) x₁ = (0 -3)^T (nicht sicher)
   d) ?

9. a)
   2.5x/2 + 2.5 -2 ≤ x < 0
   1.5x/2 + 2.5 0 ≤ x < 2
   0.5x/2 + 3.5 2 ≤ x < 4

b) y₁’ = 1
y₂’ = ½

c) ρ = 2/3 ; σ = 0 ; t = 1/3
ρ = 0 ; σ = 0 ; t = 1
ρ = 1/3 ; σ = 1/2 ; t = 1/6

d) kA

10. a) (19/2 14)^T

b) c₀ = (0 32)^T
c₁ = (0 16)^T
c₂ = (16 8)^T
c₃ = (28 8)^T
d₀ = (28 8)^T
d₁ = (40 8)^T
d₂ = (48 16)^T
d₃ = (32 32)^T

d) (32 -4)^T
(0 -4)^T
(0 -68)^T
(32 -36)^T

Edit : 4) a) verbessert

[mediadon]

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4a)✓

Du hast durch Einsetzen der Punkte in die allgemeine Geradengleichung: 
 a -  b + c =  1
          c = -2
 a +  b + c = -1
4a + 2b + c =  2

Damit ist  A * u = b

1 -1  1                1
             a
0  0  1               -2
        *    b   =
1  1  1               -1
             c
4  2  1                2

4b)✓

Hier ist die Formel AT * A * u = AT * b:

14  5 -2     c     7
 5  5  0  *  b  =  7
-2  0  5     a     3

9a)✓

2,5 + 1,25x fuer -2<= x <0
2,5 + 0,75x fuer  0<= x <2
3,5 + 0,25x fuer  2<= x <4 

9d)✓

Loesungsweg:

1. Ihr habt ein Prisma, von dem ihr jeweils die Koordinaten der Dreiecksflaechen oben und unten kennt.
2. Ihr kennt die Funktionswerte an obigen 6 Punkten.

3. Um die Werte von dem Punkt P auszurechnen, muesst ihr erst jeden Funktionswert am jeweiligen Eckpunkt der Dreiecksflaeche, auf der P liegt interpolieren. d.h.

Ihr baut euch 3 "Interpolationssysteme" wie in Teilaufgabe a, 
R:
index:     0    1
xi/zi     -1    2
yi/fRi    12   12

S, T analog ( 0 1;  -1 2; 48 72;) (0 1; -1 2; 36 72)

Jetzt interpoliert ihr wie in teilaufgabe a fuer alle 3 Strecken einzeln. 
In zweien davon kommt noch ein x vor, in einer nicht. Die ist konstant 12 (Was man auch durch hinsehen bei R erkennen kann, da sich fRi an den Kontrollpunkten nicht aendert.

Ihr habt also jetzt entlang der Z-Achse interpoliert. Der Punkt P hat die z Koordinate 0, d.h. ihr setzt in die verbleibenden 2 Funktionen x bzw z =0 ein.

Nun habt ihr die Funktionswerte auf den Eckpunkten der Dreiecksflaeche. Und Stage 1 ist fertig.

4. Um den Temperaturwert in P zu ermitteln, braucht ihr die Baryzentrischen Koordinaten von P im Dreieck.

Rechnet sie aus.

Schmeisst die oben errechneten Funktionswerte mit den jeweiligen bar.Koordinaten in die Formel f(P) = f(R)*ro+f(S)*sigma+f(T)*tau => fertig.

Wer sich konzentrieren kann, kann hier abkuerzen! Betrachtet man die X und Y Werte der 6 Eckpunkte, faellt auf, dass das die selben sind, wie in Teilaufgabe c. Schaut man sich dann an, dass der Gesuchte Punkt P ebenfalls die selben X,Y Werte besitzt, wie P3 in Teilaufgabe c, kann man sich das erneute ausrechenen der bar. Koordinaten sparen! Ihr habt das vorher schon getan!


Auch ein anderer Loesungsweg waere Denkbar, ist aber explizit nicht gefordert! wuerde man naemlich erst mithilfe der bar. Koordinaten den Funktionswert im Imaginaeren Punkt P(2) und P(-1) berechnen (Also auf Ebene des oberen/unteren Dreiecks) , und dann auf dieser Linie durch P(2) und P(-1) interpolieren, und dann den wert 0 einsetzen, muesste man nur einmal linear interpolieren.

ERGEBNIS = 40

10b)

Midpoint subdivision = Casteljau mit t=1/2 

c0
   c1
      c2
d3 d2 d1 c3=d0

Wie bei Casteljau: (1-t) * Vektor von oben links + t * Vektor von links = neuer Vektor.
c0 = (0 32)
c1 = (0 16)
c2 = (16 8)
c3 = (28 8)
d1 = (40 8)
d2 = (48 16)
d3 = (32 32)
Vektoren sind jeweils transponiert.

REST FOLGT!

[limes]

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[quote=Tuchkata:1328368349]
4) a) u = (½ -½)^T
A = |6 2|
|2 4|
b = (2 -1)^T[/quote]
Das ist nach meinem Verständnis nicht richtig. Es geht darum ein überbestimmtes LGS zu bestimmen. Was du da hast ist kein LGS (ich seh keine Variablen) und selbst wenn in u Variablen stünden, wäre es nicht überbestimmt. Ich denke man muss hier den Ansatz wählen wie auf S. 38 im Skript beschrieben.

|1 -1 1|
|0 0 1| x [a_2 a_1 a_0]^T = [1 -2 -1 2]^T
|1 1 1|
|4 2 1|

Der Rest der Aufgabe 4 müsste passen.

EDIT: Da war wohl jemand schneller, aber wenigstens seh ich jetzt, dass es noch jemand so machen würde.

[limes]

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[quote=Tuchkata:1328368349]
b) c₀ = (0 32)^T
c₁ = (0 16)^T
c₂ = (16 8)^T
c₃ = (28 8)^T
d₀ = (28 8)^T
d₁ = (40 8)^T
d₂ = (48 16)^T
d₃ = (32 32)^T[/quote]
Wie kommst du auf c_2, c_3, d_0 und d_1?

zu 10 e: Das 0. und n. Bernsteinpolynom ist jeweils 1, somit bleibt in der Summe nur der jeweilige Punkt p_i übrig. Ist zwar eine anschauliche Begründung, aber ich hab jetzt keine Lust die Formeln hier zu tippen und lass es dabei

[Tuchkata]

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2. c) verbessert
   |0 4 0 0|
   |0 0 0 0|
   |0 0 3 2|
   |0 2 1 4|
   |0 0 0 0|

3. b) verbessert
   b) x₁ = (0 1)^T

4. d) Lösung:
   Fp = 40

[infirmatiker]

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Zur 1:

@Tuchkata:1328368349

O(n²) ✓
O(n)✓
O(n³) ✓
O(n) ✓
O(n²) ✓
O(n² ??) X

Glaube nicht, weil Skalarprodukt – Wikipedia. Skalarprodukt ist O(n). Betrag ist O(n), cos ist O(1)
n+2*n+c => O(n)

O(h²) ✓
O(h⁴) ✓

[mantra]

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zur 2) a)

dein col_ptr sagt
col_ptr = 0, 0, 3, 6, 9, 9

muesste das nicht

0, 0, 2, 4, 7, 9, 10 sein?
0 beginn, dann eine leere reihe → 2. null
dann 2 elemente → 2
dann 2 elemente → 2 + 2 = 4
dann 3 elemente → 4 + 3 = 7
dann 2 elemente → 7 + 2 = 9
dann zeiger auf anzahl + 1 = 10

oder hab ich da was falsch verstanden

//edit

ja… ich habs ueber die reihen gemacht… nicht spalten… glohrreich.

[infirmatiker]

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*NULL

[infirmatiker]

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@infirmatiker

@mantra

zur 2) a)

dein col_ptr sagt
col_ptr = 0, 0, 3, 6, 9, 9

muesste das nicht

0, 0, 2, 4, 7, 9, 10 sein?
0 beginn, dann eine leere reihe → 2. null
dann 2 elemente → 2
dann 2 elemente → 2 + 2 = 4
dann 3 elemente → 4 + 3 = 7
dann 2 elemente → 7 + 2 = 9
dann zeiger auf anzahl + 1 = 10

oder hab ich da was falsch verstanden

Erste Spalte leer => gleiche Anfangsadresse wie zweite Spalte => 0
Daten für zweite Spalte beginnen bei Offset 0 => 0
Daten für dritte Spalte beginnen bei Offett 3 => 3
Daten für vierte Spalte beginnen bei Offett 6 => 6
fünfte Spalte leer, Zeiger hinter das Datenarray 6+3=> 9
letzter Eintrag Anzahl Einträge => 9

[infirmatiker]

---

@Tuchkata:1328368349

5. a)
   C = |5.6 3.6|
   |3.6 3.2|✓

b) v₁ = (-1 1)^T 1. Hauptachse ✓ (hab v₁=(1 -1)^T = dein v₁ gespiegelt… ist denke ich egal(?))
v₂ = (1 1)^T 2. Hauptachse ✓

c) Hilfe bitte.

Zur c:

A^k = V Λ V^-1 * V Λ V^-1 * ... * V Λ V^-1
V^-1 * V  = E, weil V orthogonal, also
A^k = V Λ * Λ * ... * Λ * Λ V^-1  = V Λ^k V^-1
und (Λ^k)_ii = (λ_i)^k  (die Diagonalelemente in der k-ten Potenz)

Einsetzen:
A^k xo = V Λ^k V^-1 * sum(i, alphai * vi) 
Wie man auf die endgültige Form kommt weiss ich auch nicht, jemand eine Idee?

[mantra]

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zu 8a
2 zu ein a-orthogonale vectoren sind lin. unabh. wenn mit a multipliziert.

also 2 vectoren suchen zB. (1 1)^T und (2 1)^T

laenge eines vectors ist sqrt(x_1^2, …, x_n^2) also muss man die vectoren noch normieren.

sqrt(2) * (1 1)^T und sqrt(5) * (2 1) ^ T sind also ein paar aus der gesuchten menge

[limes]

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Kann mir bitte jemand die 10b erklären?

Danke

[mediadon]

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@limes

Kann mir bitte jemand die 10b erklären?
Danke

mach das, was du bei 10 a gemacht hast, nur mit t = 1/2
soll heissen: Midpoint subdivision = Casteljau mit t=1/2

[limes]

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Wenn ich das mache komme ich aber auf andere Werte für c_2, c_3, d_0 und d_1. Oder ist das Ergebnis von Tuchkata falsch?

[mediadon]

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@limes:1328818797

Wie kommst du auf c_2, c_3, d_0 und d_1?

c0
   c1
      c2
d3 d2 d1 c3=d0

Wie bei Casteljau: (1-t) * Vektor von oben links + t * Vektor von links = neuer Vektor.
Habs nicht nochmal durchgerechnet... EDIT: Doch Loesung ist oben!

[mediadon]

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@Tuchkata

2. c) verbessert
   |0 4 0 0|
   |0 0 0 0|
   |0 0 3 2|
   |0 2 1 4|
   |0 0 0 0|

3. b) verbessert
   b) x₁ = (0 1)^T

4. d) Lösung:
   Fp = 40

Bau das doch bitte oben ein, dann muss man nicht ewig nach dem aktuellen Stand der Dinge suchen…

[Tuchkata]

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Ich kann nicht mehr mein Post editieren

[Mus.T]

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hallo leute.
.
bzgl aufgabe 10 b):

http://i.imgur.com/3PhmW.jpg

der unterschied von midpoint subdiv. ist der, dass man die Strecke ganz am Anfang und ganz am Ende statt zu vernachlässigen in jedem Schritt noch mit dazu nimmt und sie auch noch pro Schritt um die Hälfte teilt (hier nur 1 Schritt).

[decyfeR]

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@Mus.T

hallo leute.
.
bzgl aufgabe 10 b):

http://i.imgur.com/3PhmW.jpg

der unterschied von midpoint subdiv. ist der, dass man die Strecke ganz am Anfang und ganz am Ende statt zu vernachlässigen in jedem Schritt noch mit dazu nimmt und sie auch noch pro Schritt um die Hälfte teilt (hier nur 1 Schritt).

Im Unterschied zu welchem anderen Verfahren?